Question

14．已知数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6．
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^* ），求$\lim_{n→∞}$（$\frac{1}{{{b_2}-2}}$+$\frac{1}{{{b_3}-2}}$+$\frac{1}{{{b_4}-2}}$+…+$\frac{1}{{{b_n}-2}}$）的值．

Answer 1

分析 （1）计算前几项，猜想数列的通项公式，再利用数学归纳法进行证明；
（2）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可求极限．

解答 解：（1）由已知得到a₁=1，a₂=6，a₃=3（a₂-1）=15，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，…，猜测a_n=2n²-n，…
证明：①n=1、2、3时，等式a_n成立；
②假设n=k时等式成立，则a_k=2k²-k，则由（n-1）a_k+1=（n+1）（a_k-1），有a_k+1=$\frac{k+1}{k-1}$（k-1）（2k+1）=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1），即n=k+1是等式成立，综上a_n=2n²-n成立．
（2）b_n=a_n+n=2n²，∴b_n-2=2（n+1）（n-1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}-2}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\lim_{n→∞}$（$\frac{1}{{{b_2}-2}}$+$\frac{1}{{{b_3}-2}}$+$\frac{1}{{{b_4}-2}}$+…+$\frac{1}{{{b_n}-2}}$）=$\lim_{n→∞}$$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）=$\lim_{n→∞}$$\frac{1}{4}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了数列的递推公式的应用以及裂项法求数列的前n项和，属于中档题．