Question

19．若函数f（x）=x²+ax+1＞0对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$）成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得，-a＜x+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，由x+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{1}{2}$）递减，求得值域，即可得到a的范围．

解答 解：x²+ax+1＞0对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$）成立，
即为-a＜x+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$在（0，$\frac{1}{2}$）递减，可得x+$\frac{1}{x}$∈（$\frac{5}{2}$，+∞），
即有-a≤$\frac{5}{2}$，
解得a≥-$\frac{5}{2}$．
故答案为：[-$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．