Question

2．已知单调增函数f（x）对其定义在（0，+∞）内的任意x都有f（x）＞-$\frac{3}{x}$成立且f（f（x）+$\frac{3}{x}$）=2，则f（$\frac{3}{2015}$）=-2012．

Answer 1

分析 先求出函数的表达式f（x）=-$\frac{3}{x}$+c，得到-$\frac{3}{c}$+c=2，求出c的值，从而求出f（x）的表达式，再将x=$\frac{3}{2015}$代入函数的表达式求出函数值即可．

解答 解：任意的x属于（0，+∞）都有 f （ f （x）+$\frac{3}{x}$）=2，
而函数是单调的，所以对任何的x∈（0，+∞），f （x）+$\frac{3}{x}$为定值c，
即f（x）=-$\frac{3}{x}$+c，
f（f（x）+$\frac{3}{x}$）=f（c）=2，
而f（c）=-$\frac{3}{c}$+c，
所以-$\frac{3}{c}$+c=2，
解得：c=3，
∴f（x）=-$\frac{3}{x}$+3，
∴f（$\frac{3}{2015}$）=-3×$\frac{2015}{3}$+3=-2012，
故答案为：-2012．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了函数的最值问题，是一道中档题．