Question

5．设函数f（x）=log₈（x²-4mx+4m²+m+$\frac{1}{m-1}$），其中m是实数．
（1）当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义，求M；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式为f（x）=log₃[（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$]，若f（x）的定义域为R，则（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$＞0恒成立，进而得到M；
（2）设U=x²-4mx+4m²+m+$\frac{1}{m-1}$，由于y=log₃U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为m+$\frac{1}{m-1}$，求得f（x）的最小值．

解答 解：（1）f（x）=log₃[（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$]，
若f（x）对所有实数x都有意义，
则（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$＞0恒成立，
即m+$\frac{1}{m-1}$＞0，
解得：m＞1时，
故M=（1，+∞）
（2）设U=x²-4mx+4m²+m+$\frac{1}{m-1}$，
∵y=log₃U是增函数，
∴当U最小时f（x）最小．
而U=（x-2m）²+m+$\frac{1}{m-1}$，显然当x=2m时，U的最小值为m+$\frac{1}{m-1}$，
此时f（x）_min=log3（m+$\frac{1}{m-1}$）．

点评 本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题