Question

19．己知抛物线C₁：y²=4x和C₂：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F₁，F₂，点P（-1，-1），且F₁F₂⊥OP（O为坐标原点）．
（I）求抛物线C₂的方程；
（II）过点O的直线交C₁的下半部分于点M，交C₂的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得焦点坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，解得p=2，进而得到抛物线的方程；
（II）设过点O的直线为y=kx，联立抛物线的方程，求得交点M，N的坐标，进而得到MN的长，由P到直线的距离，运用三角形的面积公式，由二次函数的最值，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）F₁（1，0），${F_2}（0，\frac{p}{2}）$，
∴$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=（-1，\frac{p}{2}）$，$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}•\overrightarrow{OP}=（-1，\frac{p}{2}）•（-1，-1）=1-\frac{p}{2}=0$，
∴p=2，
∴抛物线C₂的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设过点O的直线为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得（kx）²=4x，求得M（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得N（4k，4k²）（k＜0），
从而$|MN|=\sqrt{1+{k^2}}|\frac{4}{k^2}-4k|=\sqrt{1+{k^2}}（\frac{4}{k^2}-4k）$，
点P到直线MN的距离$d=\frac{|k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
进而${S_{△PMN}}=\frac{1}{2}•\frac{|k-1|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}•\sqrt{1+{k^2}}（\frac{4}{k^2}-4k）$
=$2\frac{{（1-k）（1-{k^3}）}}{k^2}=\frac{{2{{（1-k）}^2}（1+k+{k^2}）}}{k^2}=2（k+\frac{1}{k}-2）（k+\frac{1}{k}+1）$，
令$t=k+\frac{1}{k}（t≤-2）$，
有S_△PMN=2（t-2）（t+1），
当t=-2时k=-1，取得最小值．
即当过原点直线为y=-x，
△PMN面积的面积取得最小值8．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，求交点，考查二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．