Question

（2009•大连二模）选修4-4；坐标系与参数方程
已知直线l是过点P（-1，2），倾斜角为

2

3

π的直线原方程ρ=2cos(θ+

π

3

)．
（I）求直线l的参数方程；
（II）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，直线l的参数方程为 

x=-1+tcos 2 3 π y=2+tsin 2π 3

，化简可得结果．
（II）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0，由根与系数的关系可得 t₁•t₂=6+2

3

，再由|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|求得结果．

解答：解：（I）直线l过点P（-1，2），且倾斜角为

2π

3

，故直线l的参数方程为 

x=-1+tcos 2 3 π y=2+tsin 2π 3

，
即 

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 t 2

（t为参数）．
 （II）圆方程 ρ=2cos（θ+

π

3

）=2（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ ），
即ρ²=2（

1

2

ρ•cosθ-

3

2

ρ•sinθ）=ρ cosθ-

3

ρsinθ，
化为直角坐标方程为 （x-

1

2

）2+（y-

3

2

）2=1．
把

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 t 2

代入  （x-

1

2

）2+（y-

3

2

）2=1．
化简可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0．
设此一元二次方程式的两个根分别为 t₁和 t₂，则由根与系数的关系可得 t₁•t₂=6+2

3

．
由题意可得|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=6+2

3

．

点评：本题主要考查直线的参数方程，参数的几何意义，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．