Question

【题目】设函数，.

（1）当（为自然对数的底数）时，求的极小值；

（2）讨论函数零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）极小值；

（2）①当时，无零点，

②当或时，有且仅有个零点，

③当时，有两个零点.

【解析】

试题（1）要求的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对求导，可知，再通过列表即可得当时，取得极小值；（2）令，可得，因此要判断函数的零点个数，可通过画出函数的草图来判断，同样可以通过求导判断函数的单调性来画出函数图象的草图：，通过列表可得到的单调性，作出的图象，进而可得

①当时，无零点，②当或时，有且仅有个零点，

③当时，有两个零点.

试题解析：（1）当时，，其定义域为，

，

令，，

		极小值

故当时，取得极小值；

（2），其定义域为，

令，得，

设，其定义域为.则的零点为与的交点，

，

		极大值

故当时，取得最大值

作出的图象，可得

①当时，无零点，

②当或时，有且仅有个零点，

③当时，有两个零点.