Question

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t）．
（1）求函数f（t）解析式；
（2）画出函数y=f（t）的图象；
（3）当函数g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用分段函数，求函数f（t）的解析式．
（2）利用（1）的解析式作出函数的图象．（3）求出g（t）=f（t）-at的表达式，利用g（t）=f（t）-at有且只有一个零点时，求a的值．

解答：解：（1）当0＜t≤1时，f(t)=

3

2

t²       （1分）
当1＜t≤2时，f(t)=

3

-

3

2

(2-t)2    （2分）
当t＞2时，f(t)=

3

                  （3分）
所以f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 3 - 3 2 (2-t)2，1＜t≤2 3 ，t＞2

     （4分）
（2）画图象（4分），如图：（其中图形（3分），规范1分）
（3）当0＜t≤1时，g(t)=

3

2

t2-at，由g(t)=

3

2

t2-at=0，解得t=

2a

3

因为0＜t≤1，所以0＜

2a

3

≤1，即0＜a≤

3

2

                           （9分）
当a=

3

2

时，直线y=at过点(1，

3

2

)，(2，

3

)，这两点都在f（t）的图象上
当0＜a＜

3

2

时，直线y=at与射线y=

3

有一个交点     （10分）
当1＜t≤2时，直线y=a（a＞

3

2

）逆时针旋转时与f（t）图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线y=

3

无交点．（11分）
此时

3

-

3

2

(2-t)2-at=0，所以 t2-(4-

2 3

3

a)t+2=0，
所以△=(4-

2 3

3

a)2-8=0，解得a=2

3

-

6

或a=2

3

+

6

．（12分）
当a=2

3

-

6

时，t2-2

2

t+2=0，所以t=

2

在（1，2]内．
当a=2

3

+

6

．时t=-

2

不在（1，2]内，（13分）
当a≤0或a＞2

3

-

6

时，直线y=at与f（t）的图象无交点
所以a=2

3

-

6

．（14分）

点评：本题主要考查了分段函数的求法以及函数零点的应用，综合性较强，运算量较大．