Question

5．已知tan α=$\frac{1}{2}$．求：
（1）$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$的值；
（2）sin²α+sin αcos α+2cos²α的值．

Answer 1

分析 （1）由于已知tanα，故考虑把所求的式子化为正切的形式，结合tanα=$\frac{sinα}{cosα}$，可知把所求的式子分子、分母同时除以cosα即可计算得解；
（2）同（1）的思路，但所求式子没有分母，从而先变形为分式的形式，分母添1，而1=sin²α+cos²α，以下同（1）即可得解．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{tanα-3}{tanα+1}$=$\frac{\frac{1}{2}-3}{\frac{1}{2}+1}$=-$\frac{5}{3}$．
（2）sin²α+sin αcos α+2cos²α=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα+2}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+2}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{11}{5}$．

点评 本题主要考查了三角函数求值化简中的常用技巧：已知tanα，求形如①$\frac{asinα+bcosα}{csinα+dcosα}$，②asin²α+bsinαcosα+ccos²α，对于①常在分子、分母上同时除以cosα，对于②要先在分母上添上1，1=sin²α+cos²α，然后分子、分母同时除以cos²α，从而把所求的式子化简为含有“切”的形式，属于基础题．