Question

10．若以直角坐标系xoy的原点为极点，ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线c的极坐标方程是ρsin²θ=6cosθ．
（1）将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），当直线l与曲线c相交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，sin²θ+cos²θ=1进行代换即得曲线c的直角坐标方程．
（2）将直线直线l的参数方程代入曲线c的直角坐标方程，利用参数方程的几何意义即可求解．

解答 解：（1）由题意，C的极坐标方程是：ρsin²θ=6cosθ．
可得ρ²sin²θ=6ρcosθ，
∴y²=6x．
即曲线C是抛物线；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C为：y²=6x．
把直线l中的x，y带入曲线C：可得$\frac{3}{4}{t}^{2}=6（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t）$，
即t²-4t-12=0，
∴t_A+t_B=4，t_A•t_B=-12．
直线l与曲线C相交于A、B两点，它们对应的参数分别为 t_A，t_B，
则|AB|=|t_A-t_B|=$\sqrt{（{t}_{A}+{t}_{B}）^{2}-4{t}_{A}{t}_{B}}$．
∴|AB|=8
即线段AB的长为8．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及直线参数方程的几何意义，属于中档题．