Question

20．已知$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+a+1$
（1）若$x∈[0，\frac{π}{2}]$且a=1时，求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x₁、x₂，求b的取值范围及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意把三角函数关系式变形成正弦型函数，根据函数的性质，进一步利用三角函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
（2）利用分类讨论的思想：①当b=±2时，f（x）=b与$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$只有一个交点；②当b=0时，f（x）=b与$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有三个交点；③当b∈（-2，0）∪（0，2）时，f（x）=b与$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有两个交点．进一步求出函数中b的取值范围，再利用整体思想求出结果．

解答 解：已知：$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）+a+1$，
（1）当a=1时，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+2$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
根据函数的性质得：$sinx∈[-\frac{1}{2}，1]$，
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$时，f（x）取到最大值为4；
当$2x+\frac{π}{6}=\frac{7π}{6}$即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取到最小值为1．
（2）当a=-1时，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵x∈[0，π]，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}]$；
①当b=±2时，f（x）=b与$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$只有一个交点；
②当b=0时，f（x）=b与$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有三个交点；
③当b∈（-2，0）∪（0，2）时，
f（x）=b与$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$有两个交点．
所以：当b∈（0，2）时，
建立关系式：$\frac{{2{x_1}+\frac{π}{6}+2{x_2}+\frac{π}{6}}}{2}=\frac{π}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}$，
当b∈（-2，0）时，
建立关系式：$\frac{{2{x_1}+\frac{π}{6}+2{x_2}+\frac{π}{6}}}{2}=\frac{3π}{2}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查的知识要点：正弦型三角函数的图象和性质，利用整体思想求三角函数得值域，分类讨论思想在解题中的应用，解方程思想的应用．