Question

方程

4-x2

=k(x-2)+3有两个不等实根，则k的取值范围是（　　）

• A．(0，

  5

  12

  )
• B．(

  5

  12

  ，+∞)
• C．[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]
• D．(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：由题意可得，函数y=

4-x2

的图象和直线y=k（x-2）+3有2个交点，数形结合求得k的范围．

解答：解：方程

4-x2

=k(x-2)+3有两个不等实根，即函数y=

4-x2

的图象和直线y=k（x-2）+3有2个交点．
而函数y=

4-x2

的图象是以原点为圆心，半径等于2的半圆（位于x轴及x轴上方的部分）；
直线y=k（x-2）+3，即kx-y+3-2k=0 的斜率为k，且经过点M（2，3），
当直线和半圆相切时，由

|0-0+3-2k|

k2+1

=2，求得k=

5

12

．
当直线经过点A（-2，0）时，由0=k（-2-2）+3求得k=

3

4

．
数形结合可得k的范围为（

5

12

，

3

4

]，
故选D．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了转化及数形结合的数学思想，属于中档题．