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    如图，在边长为3等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且
    AP
    =λ
    AB
    （0≤λ≤1），设
    CA
    =a，
    CB
    =b．
    （1）若λ=
    1
    3
    ，试用a，b表示
    CP
    并求|
    CP
    |；
    （2）若
    CP
    •
    AB
    ≥
    PA
    •
    PB
    ，求实数λ的取值范围．
    考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量
    专题：平面向量及应用
    分析：（1）利用向量的三角形法则、数量积运算性质即可得出；
    （2）利用向量的三角形法则和数量积定义、一元二次不等式的解法即可得出．
    解答： 解：（1）当λ=
    1
    3
    时，
    AP
    =
    1
    3
    AB
    ，
    CP
    =
    CA
    +
    AP
    =
    CA
    +
    1
    3
    AB
    =
    CA
    +
    1
    3
    (
    CB
    -
    CA
    )    =
    1
    3
    CB
    +
    2
    3
    CA
    =
    1
    3
    b
    +
    2
    3
    a
    ．
    ∵
    a
    •
    b
    =3×3×cos60°=
    9
    2
    ．
    ∴|
    CP
    |    =
    4
    9
    a
    2    +
    1
    9
    b
    2    +
    4
    9
    a
    •
    b
    =
    4
    9
    ×32+
    1
    9
    ×32+
    4
    9
    ×
    9
    2
    =
    		7
    ．
    （2）∵
    CP
    =
    CA
    +
    AP
    =
    CA
    +λ
    AB
    ，
    PB
    =
    PA
    +
    AB
    =
    AB
    -
    AP
    =(1-λ)
    AB
    ，
    ∴
    CP
    •
    AB
    ≥
    PA
    •
    PB
    ，化为(
    CA
    +λ
    AB
    )•
    AB
    ≥-λ
    AB
    •(1-λ)
    AB
    ，
    ∴
    CA
    •
    AB
    +λ
    AB
    2    ≥λ(λ-1)
    AB
    2    ，
    ∴3×3×cos120°+9λ≥9λ（λ-1），
    化为2λ2-4λ+1≤0，及0≤λ≤1．
    解得
    2-
    		2
    2
    ≤λ≤1    ．
    ∴实数λ的取值范围是[1-
    		2
    2
    ，1]    ．
    点评：本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质、向量的三角形法则和数量积定义、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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    a
    =（1，sinθ），
    b
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    （1）若
    a
    •
    b
    =
    7
    3
    ，求sinθ+cosθ的值；
    （2）若
    a
    ∥
    b
    ，求sinθ的值．

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    		2
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    1
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    1
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    本．

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    已知|
    a
    |=1，|
    b
    |=2，
    a
    与
    b
    的夹角为60°，求：
    （1）
    a
    在
    b
    方向上的投影；
    （2）
    c
    =λ
    a
    +
    b
    与
    d
    =
    a
    +2
    b
    的夹角为锐角，求λ的取值范围．

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    已知
    a
    =（1+cosx，1），
    b
    =（1+sinx，m）．
    （1）若m=1，且
    a
    ∥
    b
    时，求x的值；
    （2）记f（x）=
    a
    •
    b
    ，若f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，求m的取值范围．

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    设函数f（x）=
    x2-2x-3， x≤0
    -x2， x＞0
    ，若f（a）=-4，则a=
     
    ．

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