Question

已知

a

=（1+cosx，1），

b

=（1+sinx，m）．
（1）若m=1，且

a

∥

b

时，求x的值；
（2）记f（x）=

a

•

b

，若f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理和正切函数的单调性即可得出；
（2）利用数量积可得：f（x）=

a

•

b

=sinx+cosx+sinxcosx+m+1．由f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，即sinx+cosx+sinxcosx+m+1＞0对任意的x∈R恒成立?[-（sinx+cosx+sinx+cosx+1）]_max，x∈R．令sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)=t，可得t∈[-

2

，

2

]，t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，通过换元即可得出．

解答： 解：（1）m=1时，

b

=（1+sinx，1），
∵

a

∥

b

时，
∴1+sinx-（1+cosx）=0，化为tanx=1，解得x=kπ+

π

4

（k∈Z），
其解集为{x|x=kπ+

π

4

(k∈Z)}．
（2）f（x）=

a

•

b

=（1+sinx）（1+cosx）+m=sinx+cosx+sinxcosx+m+1，
∵f（x）＞0对任意的x∈R恒成立，∴sinx+cosx+sinxcosx+m+1＞0对任意的x∈R恒成立，
∴m＞-（sinx+cosx+sinxcosx+1）对任意的x∈R恒成立，
令g（x）=sinx+cosx+sinxcosx+1，x∈R．
令sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)=t，
则t∈[-

2

，

2

]，t²=（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx，解得sinxcosx=

t2-1

2

．
∴h（t）=g（x）=

t2-1

2

+t+1=

1

2

(t+1)2，t∈[-

2

，

2

]，
∴当t=-1时，h（t）取得最小值0，
∴m＞0．
∴m的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题考查了向量共线定理、正切函数的单调性、数量积的坐标运算、三角函数的基本关系式、两角和差的正弦公式、换元法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化能力，属于难题．