Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且 xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
（1）求函数F（x）=

f(x)

x

的单调区间．
（2）若函数f（x）=lnx+ax²，求实数a的取值范围
（3）设x₀是f（x）的零点，m，n∈（0，x₀），求证：

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）对F（x）求导，根据条件便能判断导数的符号，从而找到它的单调区间．
（2）求a的取值范围，所以想着找到关于a的不等式，并且使不等式一边是a，另一边是其它量．将f（x）带入 xf′（x）-f（x）＞0中，便能得到a＞

1-lnx

x2

，只要让a大于

1-lnx

x2

的最大值即可，所以转而求该函数的最大值．
（3）看到要证的不等式，应该想到利用F（x）的单调性，由m+n＞m，m+n＞n，便可出现f（m+n），f（m），f（n），然后想办法出现

f(m+n)

f(m)+f(n)

，从而得出证明．

解答： 解：（1）根据题意，对于x∈（0，+∞），F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0；
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是F（x）的单调递增区间．
（2）f′（x）=

1

x

+2ax，
∴x(

1

x

+2ax)-lnx-ax2＞0；
∴ax²-lnx+1＞0；
∴a＞

lnx-1

x2

，
令g（x）=

lnx-1

x2

，g′（x）=

3-2lnx

x3

，
令

3-2lnx

x3

=0得：x=e

3

2

；
∴x∈（0，e

3

2

）时，g′（x）＞0；x∈（e

3

2

，+∞）时，g′（x）＜0；
∴x=e

3

2

时，g（x）取到极大g（e

3

2

）=

1

2

e-

3

2

，也是最大值；
∴a的取值范围是（

1

2

e-

3

2

，+∞）．
（3）根据（1）知在（0，x₀）上，

f(x)

x

是增函数，
∴x∈（0，x₀）时，

f(x)

x

＜

f(x0)

x0

=0，∴f（x）＜0；
∵m+n＞m，m+n＞n
∴

f(m+n)

m+n

＞

f(m)

m

，

f(m+n)

m+n

＞

f(n)

n

．
∴f(m)＜

mf(m+n)

m+n

   ①f(n)＜

nf(m+n)

m+n

     ②．
∴①+②得：f(m)+f(n)＞

mf(m+n)

m+n

+

nf(m+n)

m+n

=f（m+n）．
∴

f(m+n)

f(m)+f(n)

＜1．

点评：考查的知识点有：根据导数判断函数的单调性，寻找函数的单调区间；利用导数求函数的极值、最值；函数的零点以及单调性的定义．第二问的关键是解出a＞

1-lnx

x2

，第三问的关键是出现

f(m+n)  m+n ＞ f(m) m f(m+n) m+n ＞ f(n) n

．