Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+an

．
（1）求{a_n}；
（2）记数列{a_n}的前n项和为H_n．
（Ⅰ）当n≥2时，求n•（H_n-H_n-1）；
（Ⅱ）证明：

1

1• H 2 1

+

1

2• H 2 2

+

1

3• H 2 3

+…+

1

n• H 2 n

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）取倒数，利用等差数列的性质，可求{a_n}；
（2）（Ⅰ）直接代入计算，可得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当i≥2时，

1

i

=(Hi-Hi-1)＞0，再放缩，求和，即可证明结论．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∵a₁=1，∴an=

1

n

（2）（Ⅰ）当n≥2时，Hn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，Hn-1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
∴n•（H_n-H_n-1）=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当i≥2时，

1

i

=(Hi-Hi-1)＞0，
∴

1

1• H 2 1

+

1

2• H 2 2

+

1

3• H 2 3

+…+

1

n• H 2 n

=

1

1

+(H2-H1)•

1

H 2 2

+(H3-H2)•

1

H 2 3

+…+(Hn-Hn-1)•

1

H 2 n

＜

1

1

+•

(H2-H1)

H   1 • H   2

+•

(H3-H2)

H   2 • H   3

+…+•

(Hn-Hn-1)

H   n-1 • H   n

=

1

1

+(

1

H   1

-

1

H   2

)++…+(

1

H   n-1

-

1

H   n

)=2-

1

H   n

＜2

点评：本题考查等差数列的判断，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．