Question

已知平面内一动点 P到定点F(0，

1

2

)的距离等于它到定直线y=-

1

2

的距离，又已知点 O（0，0），M（0，1）．
（1）求动点 P的轨迹C的方程；
（2）当点 P（x₀，y₀）（x₀≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，以 M P为直径作圆，求该圆截直线y=

1

2

所得的弦长；
（3）当点 P（x₀，y₀）（x₀≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，过点 P作x轴的垂线交x轴于点 A，过点 P作（1）中的轨迹C的切线l交x轴于点 B，问：是否总有 P B平分∠A PF？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

Answer 1

（1）根据题意，动点 P是以F(0，

1

2

)为焦点以y=-

1

2

为准线的抛物线，
所以p=1开口向上，
所以动点 P的轨迹C的方程为x²=2y
（2）以 M P为直径的圆的圆心（

x0

2

，

y0+1

），|MP|=

x02+(y0-1)2

=

2y0+(y0-1)2

=

y02+1

所以圆的半径r=

1

2

y02+1

，圆心到直线y=

1

2

的距离d=|

y0+1

2

-

1

2

|=|

1

2

y0|，
故截得的弦长l=2

r2-d2

=2

1 4 y02+ 1 4 - 1 4 y02

 =1
（3）总有 P B平分∠A PF．
证明：因为y=

x2

2

所以，y^′=x，kl|x=x0=x0．
所以切线l的方程为y=x0x-

x02

2

，
令y=0得x=

x0

2

，
所以B（

x0

2

，0）
所以B到PA的距离为d1=|x0-

x0

2

|=

|x0|

2

下面求直线PF的方程，
因为F(0，

1

2

)
所以直线PF的方程为y-

1

2

=

x02 2 - 1 2

x0

(x-0)整理得(x02-1)x-2x0y+x0=0
所以点B到直线PF的距离d2=

|(x02-1) x0 2 +x0|

(x02-1)2+(2x0)2

=

|x0|

2

=d1
所以 PB平分∠APF．