Question

【题目】如图，三棱柱中，，分别为，的中点．

（1）证明：直线平面；

（2），，，，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）设与交于点，通过证明是平行四边形证得，得线面平行；

（2）证明两两垂直，然后以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角的余弦得二面角的余弦．

证明：（1）设与交于点，连接，，

因为四边形是平行四边形，所以是的中点，

是的中点，所以，．

又因为是的中点，所以，．

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以．又因为平面，平面，

所以直线平面．

（2）因为，所以平行四边形是菱形，所以．

又因为，所以．

又，且是的中点，所以．又因为，

所以，

所以，故，从而，，两两垂直．

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，

设，因为，，

所以是等边三角形，所以，，，．

，．

因为，，两两垂直，所以平面，

所以是平面的一个法向量；

设是平面的一个法向量，则

，即，令，得，，

所以，所以．

所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．