Question

【题目】在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.

Answer 1

【答案】(1) 直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)4

【解析】

（1）将直线l参数方程中的消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以，利用可得曲线C的直角坐标方程；

（2）求出点到直线的距离，再求出的弦长，从而得出△MON的面积．

解：(1)由题意有，

得，

x＋y＝4，

直线l的普通方程为x＋y－4＝0.

因为ρ＝4sin

所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，

两边同时乘以得，

ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，

因为，

所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，

∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.

(2)∵原点O到直线l的距离

直线l过圆C的圆心(，1)，

∴|MN|＝2r＝4，

所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.