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    【题目】如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.

    （1）证明：平面.

    （2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

    【答案】（1）见解析（2）

    【解析】

    （1）利用面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，根据圆的几何性质证得，由此证得平面.

    （2）判断出三棱锥的体积最大时点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

    （1）证明：因为平面平面是正方形，

    所以平面.

    因为平面，所以.

    因为点在以为直径的半圆弧上，所以.

    又，所以平面.

    （2）解：显然，当点位于的中点时，的面积最大，三棱锥的体积也最大.

    不妨设，记中点为，

    以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，

    建立如图所示的空间直角坐标系，

    则，

    设平面的法向量为，

    则令，得.

    设平面的法向量为，

    则令，得，

    所以.

    由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

    练习册系列答案
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    【题目】设函数f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．

    （1）求a的取值范围；

    （2）证明：f′（）＜0（f′（x）为函数f（x）的导函数）；

    （3）设点C在函数y＝f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．

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    【题目】在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.

    （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

    （2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.

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    【题目】已知椭圆C：过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。

    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.

    日期

    23

    24

    25

    26

    27

    28

    29

    30

    31

    时间

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    新增确诊人数

    15

    19

    26

    31

    43

    78

    56

    55

    57

    经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.

    （1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：，.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.

    （2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为，求最有可能（即概率最大）的值是多少.

    附：对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：

    位置

    类型

    A

    B

    C

    D

    E

    电信

    4

    3

    8

    6

    12

    网通

    5

    7

    9

    4

    3

    （1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？

    （2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．

    参考公式：．

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    【题目】已知圆，点，是圆上一动点，点在线段上，点在半径上，且满足.

    （1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

    （2）设过点的直线与轨迹交于点（不在轴上），垂直于的直线交于点，与轴交于点，若，求点横坐标的取值范围.

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    【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为．

    （1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

    （2）若是曲线上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：

    根据以上数据，绘制了散点图.

    观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.参考数据（其中）：

    （1）用反比例函数模型求关于的回归方程；

    （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；

    （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.

    参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.

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