Question

【题目】已知动点到定直线的距离与到定点的距离之比为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知点，在轴上是否存在一点，使得曲线上另有一点，满足，且？若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；或

【解析】

(1)设，根据已知条件可得，化简即可得到点的轨迹的方程；

(2) 假设在轴上存在符合题意的点，则点在线段的中垂线上，分三种情况讨论直线的斜率即：斜率不存在；斜率为零；斜率不为零；求出满足条件点的坐标即可.

解：（1）设，由题可得，

化简得，即，

所以曲线的方程为.

（2）假设在轴上存在符合题意的点，

则点在线段的中垂线上，由题意知直线的斜率显然存在.

当直线的斜率为时，则，.

设，则，.

由，解得，此时.

当直线的斜率不为时，设直线的方程为.

联立得，

则，解得，即.

的中点为.

线段的中垂线为，

令，得，即.

所以，，

所以.

由形式可以猜想，故而，

得，经验证可知满足上式.

下边验证是否还有别解：

令，上式可化为，

利用韦达定理知此方程有一个正根与一个负根，

所以，此时.

综上，可得或.