Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据平面与平面垂直的性质，结合线面垂直性质即可判定；

（2）取中点O，连接，，可证明，进而建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由空间向量法求得二面角的余弦值.

（1）证明：在四棱锥中，

因为平面平面，平面平面，

又因为，平面，

所以平面，

因为平面，

所以.

（2）取中点O，连接，，

因为，所以.

因为平面平面，平面平面，

因为平面，所以平面，所以，.

因为，，，所以，，

所以四边形是平行四边形，所以.

如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，.

，.

设平面的法向量为，则

即令，则，，所以.

因为平面的法向量，

所以

由图可知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为.