Question

7．设函数f（x）=ax³-3x+1（x∈R），若对于任意x∈（0，1]，都有f（x）≥0成立，则实数a取值范围是a≥4．

Answer 1

分析 利用参数分类法进行展会构造函数g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，求函数的导数，求出函数的最值即可得到结论．

解答 解：当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax³-3x+1≥0可化为：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
设g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，则g′（x）=$\frac{3（1-2x）}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$]上单调递增，在区间[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，
因此g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=4，从而a≥4；
故答案为：a≥4

点评 本题主要考查函数恒成立问题，利用参数分离法，进行转化，构造函数求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．