Question

【题目】已知关于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是 ．

Answer 1

【答案】﹣1
【解析】解：∵（t+1）cosx﹣tsinx=t+2， ∴t= ，
令f（x）= ，
则f′（x）= = ，
令g（x）=sinx+2cosx﹣1，则g′（x）=cosx﹣2sinx，
∴当x=arctan 时，g′（x）=0，当0＜x＜arctan 时，g′（x）＞0，当arctan ＜x＜π时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，arctan ）上单调递增，在（arctan ，π）上单调递减，
又g（0）=1，g（π）=﹣3，
∴g（x）在（0，π）上只有一个零点，又g′（ ）=0，
∴当0＜x＜ 时，g（x）＞0，当 ＜x＜π时，g（x）＜0，
∴当0＜x＜ 时，f′（x）＞0，当 ＜x＜π时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，0）上单调递减，
∴当x= 时，f（x）取得最大值f（ ）=﹣1．
∴t的最大值为﹣1．
所以答案是﹣1．