Question

【题目】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+ b=c．
（1）求∠A的大小；
（2）若等差数列{an}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{ }的前n项和为Sn ， 求证：Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点C作AB边上的高交AB与D，

则△ACD、△BCD均为直角三角形，

∵acosB+ b=c．

∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB= b，

∴∠A=60°；

（2）证明：由（1）知a1=2cosA=2cos60°=1，

设等差数列{an}的公差为d，

∵a5=a1+（5﹣1）d=9，∴d=2，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

∴ = = （ ﹣ ），

∴Sn= （ + +…+ ﹣ ）

= （1﹣ ）

＜ ．

【解析】（1）过点C作AB边上的高交AB与D，通过acosB+ b=c，可知∠A=60°；（2）通过（1）及a1=2cosA、a5=9可知公差d=2，进而可得通项an=2n﹣1，分离分母得 = （ ﹣ ），并项相加即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；余弦定理:;;才能正确解答此题．