Question

5．已知四棱锥P-ABCD，其三视图和直观图如图所示，E为BC中点．
（Ⅰ）求此几何体的体积；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三视图可知底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，定点P在面ABCD内的射影为BC的中点E，棱锥的高为2，由此能求出此几何体的体积．
（Ⅱ）推导出PE⊥AE，AE⊥ED，从而AE⊥平面PED，由此能证明平面PAE⊥平面PDE．

解答 解：（Ⅰ）由三视图可知底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，
定点P在面ABCD内的射影为BC的中点E，棱锥的高为2，
∴此几何体的体积${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{矩形ABCD}}×PE=\frac{1}{3}×2×4×2=\frac{16}{3}$．…（4分）
证明：（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PE⊥AE，
取AD中点F，∵AB=CE=BE=2，∴$EF=\frac{1}{2}AD$，∴AE⊥ED，
∵ED∩AE=E，∴AE⊥平面PED，∵AE?平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PDE．…（10分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．