Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（I）若存在实数k和t，使得

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+

b

，且

x

⊥

y

，试求函数的关系式k=f（t）；
（II）根据（I）结论，确定k=f（t）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）利用向量模的坐标公式求出向量的模，利用向量垂直的充要条件列出方程，将方程变形表示出k．
（II）求出函数f（t）的导数，令导数大于0，求出不等式的解集即为单调递增区间；令导函数小于0求出不等式的解集为单调递减区间．

解答：解：（I）∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)
∴|

a

|=2，|

b

|=1，

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0 
∴

a

⊥

b

∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0
即-k|

a

|2+t(t2-3)|

b

|2=0，
∴t³-3t-4k=0
即k=

1

4

t3-

3

4

t

（II）由（I）知，k=f（t）=

1

4

t3-

3

4

t，
∴k′=

3

4

t2-

3

4

=

3

4

(t+1)(t-1)
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜-1或t＞1
故k=f（t）的单调递减区间是[-1，1]；
单调递增区间是（-∞，-1]，[1，+∞）．

点评：本题考查向量模的坐标公式；向量垂直的充要条件；利用导数求函数的单调区间．