Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）证明：|

a

+

b

|=|

a

-

b

|； 
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，试求函数关系式k=f（t）；
（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况．

Answer 1

分析：（1）利用向量的运算和模的计算公式即可得出；
（2）利用向量的数量积运算、垂直与数量积的关系即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性、极值即可得出．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=(

3

+

1

2

，

3

2

-1)，

a

-

b

=(

3

-

1

2

，-1-

3

2

)．
∴|

a

+

b

|=

( 3 + 1 2 )2+( 3 2 -1)2

=

5

，|

a

-

b

|=

( 3 - 1 2 )2+(-1- 3 2 )2

=

5

．
∴|

a

+

b

|=|

a

-

b

|； 
（2）|

a

|=

( 3 )2+(-1)2

=2，|

b

|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0．
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(k

a

+t

b

)=k

a

2+t(t2-3)

b

2=2k+t(t2-3)=0．
∴k=-

1

2

t(t2-3)．
（3）由（2）可知：f（t）=-

1

2

t3+

3

2

t，
f′(t)=-

3

2

t2+

3

2

=-

3

2

(t+1)(t-1)，令f′（x）=0，解得t=±1．
列表如下：
由表格可知：当x=-1时，函数f（x）取得极小值f（-1）=-1；
当x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=1．
因此：①当k=±1时，方程f（t）-k=0由两解；
②当-1＜k＜1时，方程f（t）-k=0由3个解；
③当k＜-1或1＜k时，方程f（t）-k=0由1个解．

点评：熟练掌握向量的运算和模的计算公式、向量的数量积运算、垂直与数量积的关系、利用导数研究函数的单调性、极值等是解题的关键．