Question

6．若关于x的方程$\sqrt{x+1}$-x=m有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据方程的根与对应函数零点之间的关系，可将方程$\sqrt{x+1}$-x=m有两个不同的实根问题转化为函数y=$\sqrt{x+1}$与函数y=x+m的图象有两个交点，我们易求出实数m的取值范围

解答 解：方程$\sqrt{x+1}$-x=m有两个不同的实根问题转化为函数y=$\sqrt{x+1}$与函数y=x+m的图象有两个交点，
由$\sqrt{x+1}$=x+m，两边平方可得x²+（2m-1）x+m²-1=0，
△=（2m-1）²-4（m²-1）=0，可得m=$\frac{5}{4}$，
将（-1，0）代入y=x+m，可得m=1，
∴1≤m＜$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查的知识点是直线和抛物线的方程的应用，其中根据方程的根与对应函数零点之间的关系，将问题转化为函数的零点问题是解答本题的关键．