Question

2．已知四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，又PC=a，E为PA的中点．
（1）求证：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求点E到平面PBC的距离；
（3）求二面角A-BE-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结AC交BD于点O，连结EO，由三角形中位线定理得EO∥PC．由线面垂直得EO⊥平面ABCD，由此能证明平面EBD⊥平面ABCD．
（2）过O作OF⊥BC于点F，OF为O到平面PBC的距离，OF的长即为E到平面PBC的距离，由此能求出点E到平面PBC的距离．
（3）过O作OH⊥BE于点H，连结AH，∠OHA为所求二面角的平面角，由此能求出二面角A-BE-D的大小．

解答 （1）证明：连结AC交BD于点O，连结EO．
∵E、O分别是PA、AC的中点，
∴EO∥PC．又PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
（2）解：过O作OF⊥BC于点F，则OF为O到平面PBC的距离．
由于EO∥平面PBC，
∴OF的长即为E到平面PBC的距离，OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
即点E到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．
（3）解：过O作OH⊥BE于点H，连结AH，
则∠OHA为所求二面角的平面角，
在Rt△BOE中，OH=$\frac{OB×OE}{BE}$=$\frac{\frac{a}{2}×\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴tan∠OHA=$\frac{OA}{OH}$=$\sqrt{6}$．
故二面角A-BE-D的大小为arctan$\sqrt{6}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．