Question

9．已知函数f（x）=log₂${\;}^{（a{x}^{2}-2x+2）}$
（1）若f（x）的定义域为实数集R，求实数a的取值范围，并求此时f（x）的值域．
（2）若方程log₂${\;}^{（a{x}^{2}-2x+2）}$=2在[$\frac{1}{2}$，2]内有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得ax²-2x+2＞0对于任意的实数都成立，验证a=0是否成立，a≠0时根据二次函数的图象找出等价条件，求出a的范围．
（2）求参数一般转化为求最值．求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性

解答 解：（1）∵函数y=log₂（ax²-2x+2）的定义域为R，∴ax²-2x+2＞0对于任意的实数都成立；
当a=0时，-2x+2＞0，故不符合题意；
当a≠0时，则有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-8a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$，此时f（x）的值域是（log₂（2-$\frac{1}{a}$），+∞）；
（2）∵方程log₂${\;}^{（a{x}^{2}-2x+2）}$=2在[$\frac{1}{2}$，2]内有解，
∴ax²-2x-2=0在[$\frac{1}{2}$，2]内有解，
∴a=$\frac{2}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$在[$\frac{1}{2}$，2]内成立．
∵$\frac{3}{2}$≤$2（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{2}$≤12，
∴$\frac{3}{2}$≤a≤12，
∴实数a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，12]．

点评 本题的考点是对数函数的定义域和二次函数恒成立问题，注意验证特殊情况，结合二次函数的图象找出等价条件．