Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=1-

1

2

bn.
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）根据a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，求得a₃和a₅，则公差可求，进而求得数列{a_n}，的通项公式，代入S_n=1-

1

2

bn.中根据
b_n=S_n-S_n-1求得n≥2时的

bn

bn-1

=

1

3

判断出其为等比数列，公比为

1

3

进而根据等比数列的通项公式求得b_n．
（2）把（1）中求得的a_n和b_n代入c_n=a_nb_n，求得c_n，进而可求得c_n+1-c_n求得结果小于等于0，原式得证．

解答：解：（1）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2.
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
又当n=1时，有b₁=S₁=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

.
当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2).
∴数列{b_n}是等比数列，b1=

2

3

，q=

1

3

.
∴bn=b1qn-1=

2

3n

.
（2）由（Ⅰ）知cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=

2(2n+1)

3n+1

，
∴cn+1-cn=

2(2n+1)

3n+1

-

2(2n-1)

3n

=

8(1-n)

3n+1

≤0.
∴c_n+1≤c_n．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属基础题．