Question

已知函数，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1) 当时，，利用“定义法”证明。
(2)

试题分析：
思路分析：(1) 当时，，利用“定义法”证明。执行“设、算、证、结”。
(2)应用均值定理及“对号函数”的单调性，分，即和，即两种情况讨论得到：。
解：(1) 当时，，
任取0<x₁<x₂≤2，则f(x₁)–f(x₂)=
因为0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)
所以函数f(x)在上是减函数；
(2)，当且仅当时等号成立，
当，即时，的最小值为，
当，即时，在上单调递减，
所以当时，取得最小值为，
综上所述：
点评：中档题，本题综合性较强，研究函数的单调性，可以利用导数，也可以利用常见函数的单调性。应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”。