Question

椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是

1. A.
   （0，]
2. B.
   （0，]
3. C.
   [，1）
4. D.
   [，1）

Answer 1

D
分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．
解答：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|=
|PF|∈[a-c，a+c]
于是∈[a-c，a+c]
即ac-c²≤b²≤ac+c²
∴

又e∈（0，1）
故e∈．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．