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精英家教网如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,
AC∩β=B,DF∩β=E.
(1)求证:
AB
BC
=
DE
EF

(2)设AF交β于M,AC≠DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当
h′
h
的值是多少时,△BEM的面积最大?
分析:(1)要证明线段对应成比例,我们可以证明①它们所在的三角形相似,也可以②利用平行线分线段成比例定理,也可以③证明它们都与同一个比例式相等,观察AB,BC,DE,EF的关系,直接证明有难度,因此可以选择第三种思路.
(2)求△BEM面积的最大值,要先将△BEM面积表示出来,再结函数的性质或基本不等式进行求解.
解答:(1)证明:连接BM、EM、BE.
∵β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,
∴BM∥CF.∴
AB
BC
=
AM
MF

同理,
AM
MF
=
DE
EF

AB
BC
=
DE
EF


(2)解:由(1)知BM∥CF,
∴=
AB
AC
=
h′
h

同理,
ME
AD
=
h-h′
h

∴S△BEM=
1
2
CF•AD
h′
h
(1-
h′
h
)sin∠BME.
据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.
故CF、AD是常量,
sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,
令h′:h=x.显然当x=
1
2
,即
h′
h
=
1
2
时,y=-x2+x有最大值.
∴当
h′
h
=
1
2
,即β在α、γ两平面的中间时,S△BEM最大.
点评:要证明线段对应成比例,我们可以证明①它们所在的三角形相似,也可以②利用平行线分线段成比例定理,也可以③证明它们都与同一个比例式相等.如果已知的线段与圆的切、割有关,也可利用与圆相关的线段比例,如切线长定理、相交弦定理、切割线定理等列出线段的关系式.
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