Question

如图，圆C：x²+y²-2x-8=0内有一点P（2，2），过点p作直线l交圆于A，B两点．
（1）当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l方程；
（3）当直线l倾斜角为45°时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1） 先求出直线l的斜率，用点斜式写直线的方程，并化为一般式．
（2）当弦AB被点P平分时，由CP⊥AB，求得AB的斜率，用点斜式求直线方程．
（3）用斜截式设出直线l的方程，点P坐标代入，可得截距的值，由点到直线的距离公式求出点C到直线l的距离，
由弦长公式求|AB|，代入三角形的面积公式进行运算．

解答：解：（1）∵圆C：（x-1）²+y²=9，∴K_CP =

2-0

2-1

=2，
又∵点C（1，0）在直线上，∴l的方程为2x-y-2=0，
（2）当弦AB被点P平分时，连CP，则CP⊥AB，
∵K_CP=2，K_AB=-

1

2

，∴l的方程为x+2y-6=0，
（3）∵直线l倾斜角为45°，设直线l的方程为y=x+b，∵直线l过点P，2=2+b，b=0，
∴l的方程为y-x=0，点C到直线l的距离为d=

|1-0|

2

=

2

2

，
由弦长公式可得|AB|=2

|CA|2-d2

=2

9- 1 2

=

34

，
∴三角形△ABC的面积是S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

34

•

2

2

=

17

2

．

点评：本题考查两直线垂直的性质，用点斜式、斜截式求直线的方程，点到直线的距离公式以及弦长公式的应用．