Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设数列{cn}满足对任意的n∈N*均有an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（I）根据a₂，a₅，a₁₄成等比数列可得d的方程，解出d，可得a_n，进而可得公比q，b_n；
（II）令n=1可求c₁，当n≥2时，由n≥2时，an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

①，得an=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

②，两式相减可求得c_n，利用等比数列前n项和公式可求得结果；

解答：解：（I）∵等差数列{a_n}的a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项，且a₁=1，
∴（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，解得d=2或d=0（舍），
则a₂=1+2=3，a₅=1+4×2=9，
∵公比q=

a5

a2

=3，a2=b2=3，∴b₁=1，
∴bn=b1•qn-1=1•3n-1=3n-1．
故an=2n-1，bn=3n-1．
（II）当n=1时，

c1

b1

=a2，∴c₁=1×3=3，
当n≥2时，an+1=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

①，an=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

②，
①-②得，

cn

bn

=an+1-an=2，即cn=2bn=2×3n-1(n≥2)，
∴cn=

3，n=1 2×3n-1，n≥2.

，
故c1+c2+…+c2008=3+2×(3+32+…+32007)=3+2×

3(1-32007)

1-3

=32008．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查学生的运算能力，关键是熟记相关公式．