Question

12．已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0，若f（x）在x=-1处取极值
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）-m有3个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）在x=-1处取得极值，求出a；
（2）若g（x）=f（x）-m有3个零点，只需直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则说明m小于极大值，大于极小值．

解答 解：（1）函数的导数为f'（x）=3x²-3a，因为f（x）在x=-1处取得极值，
所以f'（-1）=0，即3-3a=0，解得a=1．
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x-1，
f'（x）=3x²-3=3（x²-1）=3（x-1）（x+1），
当f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1．当f'（x）＜0，得-1＜x＜1．
即函数在x=-1处取得极大值f（-1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=-3，
如图示：
，
若g（x）=f（x）-m有3个零点，
只需直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，
则m小于极大值，大于极小值，
即-3＜m＜1，所以m的取值范围是（-3，1）．

点评 本题的考点是利用导数研究函数的极值，以及函数的交点问题．要注意利用数形结合的数学思想去解决．