Question

2．设x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥-1}\\{y≥1}\end{array}}\right.$若0≤ax+by≤2恒成立，则a²+b²的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{8}{9}$
• C． $\frac{20}{9}$
• D． 4

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用线性规划知识，通过0≤ax+by≤2，得到a，b的不等式组，然后求解a²+b²的最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y≥-1}\\{y≥1}\end{array}}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（2，1），$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$
可得C（0，1），
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（1，2）．
0≤ax+by≤2恒成立，可得：$\left\{\begin{array}{l}{0≤2a+b≤2}\\{0≤b≤2}\\{0≤a+2b≤2}\end{array}\right.$，
画出关于a，b的可行域，如图：
a²+b²的几何意义是可行域内的点到原点的距离的平方，显然D到原点的距离最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{2+2b=2}\end{array}\right.$，解得D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）
∴a²+b²的最大值$（-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}$=$\frac{20}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．