Question

12．已知函数$f（x）=lg（\sqrt{4{x^2}+b}+2x）$，其中b是常数．
（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；
（2）求证：y=f（x）是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性以及对数函数的性质求出b的值即可；
（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）设y=f（x）的定义域为D，
∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，
得b=1，此时，$f（x）=lg（\sqrt{4{x^2}+1}+2x）$，D=R，为奇函数．
（2）设定义域内任意x₁＜x₂，
$h（x）=\sqrt{4{x^2}+b}+2x$，$h（{x_1}）-h（{x_2}）=\sqrt{4x_1^2+b}+2{x_1}-\sqrt{4x_2^2+b}-2{x_2}$
=$2[\frac{2x_1^2-2x_2^2}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}+{x_1}-{x_2}]$=$2（{x_1}-{x_2}）[\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}+1]$
当b≤0时，总有0＜x₁＜x₂，$\sqrt{4x_1^2+b}≤2{x_1}$，$\sqrt{4x_2^2+b}≤2{x_2}$，
∴$\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}≥1$，得h（x₁）＜h（x₂），
当b＞0时，∵x₁-x₂＜0，$\sqrt{4x_1^2+b}＞2{x_1}$，$\sqrt{4x_2^2+b}＞2{x_2}$，
∴$-1＜\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{\sqrt{4x_1^2+b}+\sqrt{4x_2^2+b}}}＜1$，得h（x₁）＜h（x₂），
故总有f（x）在定义域上单调递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性的证明，是一道中档题．