Question

4．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}ln（x+\frac{1}{4}）$，$g（x）=ln（2x-\frac{1}{2}+t）$，若f（x）≤g（x）在区间[0，1]上恒成立，则（　　）

• A． 实数t有最小值1
• B． 实数t有最大值1
• C． 实数t有最小值$\frac{1}{2}$
• D． 实数t有最大值$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若对任意的x∈[0，1]，有f（x）≤g（x）恒成立，则g（x）-f（x）≥0恒成立，构造函数h（x）=g（x）-f（x），并将恒成立问题转化为最值问题，由题意求出t的范围，可得原函数的导函数在[0，1]上单调递增，求其最小值，由最小值大于等于0求得t有最小值1．

解答 解：若对任意的x∈[0，1]，有f（x）≤g（x）恒成立，
则对任意的x∈[0，1]，有g（x）-f（x）≥0恒成立，
令h（x）=g（x）-f（x）=$ln（2x-\frac{1}{2}+t）-\frac{1}{2}ln（x+\frac{1}{4}）$，x∈[0，1]，
则h′（x）=$\frac{2}{2x-\frac{1}{2}+t}-\frac{1}{2x+\frac{1}{2}}$=$\frac{2x+\frac{3}{2}+t}{（2x-\frac{1}{2}+t）（2x+\frac{1}{2}）}$，x＞max{$-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}-t$}．
由题意可得$\frac{1}{2}-t≤0$，即t$≥\frac{1}{2}$，再由h′（x）=0，可得x=$-\frac{3}{4}-\frac{t}{2}$≤-1，
则h（x）在[0，1]上单调递增，$h（x）_{min}=h（0）=ln（-\frac{1}{2}+t）-\frac{1}{2}ln\frac{1}{4}≥0$，解得t≥1．
∴实数t有最小值1．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导数符号与原函数单调性的关系，是解答的关键，是中档题．