Question

14．已知点M（-1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到M的距离均是到点N距离的$\sqrt{3}$倍．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知m≠0，设直线l₁：x-my-1=0交曲线E于A，C两点，直线l₂：mx+y-m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出点坐标，由题目条件进行计算即可；
（2）四边形的面积：S=$\frac{1}{2}AC•BD$，取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，求出AC²+BD²=8，利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）设曲线E上任意一点坐标为（x，y），
由题意，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，-----（2分）
整理得x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3为所求．--…（5分）
（2）由题意可知l₁⊥l₂，且两条直线均恒过点N（1，0）…（7分）
则四边形的面积：S=$\frac{1}{2}AC•BD$…（8分）
取AC的中点P，BD的中点Q，连结EP、EQ，
EP²=3-$\frac{1}{4}$AC²，EQ²=3-$\frac{1}{4}$BD²，
又可知四边形NPEQ为矩形，所以有EP²+EQ²=EN²=4
整理得：AC²+BD²=8…（10分）
故S=$\frac{1}{2}AC•BD$≤$\frac{1}{2}•\frac{A{C}^{2}+B{D}^{2}}{2}$=2      
当AC=BD，即m=1时，即面积最大值为2…（12分）

点评 本题考查求解轨迹方程的一般方法，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．