Question

13．（1）命题p：“?x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0”，若“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
（2）已知p：|1-$\frac{x-1}{3}$|≤2，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0），若p是q的必要而不充分必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出命题p，q同时为真命题的条件，然后利用补集思想求“p且q”为假命题的条件即可．
（2）通过求解不等式，求出p，q，的解，利用必要而不充分条件，列出不等式组，求解即可．

解答 解：（1）若p是真命题．则a≤x²，
∵x∈[1，2]，1≤x²≤4，
∴a≤1，即p：a≤1．
若q为真命题，则方程x²+2ax+2-a=0有实根，
∴△=4a²-4（2-a）≥0，
即a≥1或a≤-2，
即q：a≥1或a≤-2．
 p真q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥1或a≤-2}\end{array}\right.$，
∴a≤-2或a=1．
若“p且q”为假命题，即a＞-2且a≠1．
故实数a的取值范围是：（-2，1）∪（1，+∞）a＞0，
（2）：由|1-$\frac{x-1}{3}$|≤2得-2≤x≤10．
由x²-2x+1-m²≤0得-m+1≤x≤m+1，
若p是q的必要不充分条件即“q⇒p”?{x|1-m≤x≤1+m}?{x|-2≤x≤10}，$\left\{\begin{array}{l}{1-m＞-2}\\{1+m≤10}\end{array}\right.$
或$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥-2}\\{1+m＜10}\end{array}\right.$，
∴m≤3，又m＞0，
所以实数m的取值范围是（0，3]．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系，利用条件先求出p，q同时为真命题的条件，然后利用补集思想求“p且q”为假命题的条件是解决本题的关键．并考查充要条件的应用，不等式的解法，考查计算能力．