Question

3．已知集合A={（x，y）|x²+y²≤4，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x₁+x₂，y₁+y₂）|（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）

• A． 49
• B． 45
• C． 69
• D． 73

Answer 1

分析 根据题意，由集合的意义用列举法表示集合A、B，进而结合A⊕B的意义，用列举法表示集合A⊕B，排除其中重复的元素，即可得答案．

解答 解：根据题意：A={（x，y）|x²+y²≤4，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2）（1，0），（2，0），（-1，0），（-2，0），（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）}，共13个元素，是平面直角坐标系中13个点；
而集合B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，-1），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，-1），（2，-2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2）}
又由A⊕B={（x₁+x₂，y₁+y₂）|（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，
x₁+x₂可取的值为：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，共9个；
y₁+y₂可取的值为：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，共9个；
当x₁+x₂=-4时，y₁+y₂可取的值只能为-2，-1，0，1，2，
当x₁+x₂=4时，y₁+y₂可取的值只能为-2，-1，0，1，2，
当x₁+x₂=-3时，y₁+y₂可取的值只能为-3，-2，-1，0，1，2，3，
当x₁+x₂=3时，y₁+y₂可取的值只能为-3，-2，-1，0，1，2，3，
当x₁+x₂为其他值时，y₁+y₂可取的值为：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，共9个；
则A⊕B中共有9×9-4-4-2-2=69个元素；
故选：C．

点评 本题考查集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素，关键在于认真分析题意，明确集合A⊕B中的元素特点．