Question

8．已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-4．若同时满足条件：
①?x∈R，f（x）＜0 或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
求m的取值范围．

Answer 1

分析 由①可推得f（x）=m（x-3m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由②可得：?x∈（-∞，-4），使（x-3m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比3m，-m-3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得答案．

解答 解：∵g（x）=2^x-4，当x≥2时，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-3m）（x+m+3）＜0在x≥2时恒成立，
∴二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（2，0）的左侧，
即$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\-m-3＜2\\ 3m＜2\end{array}\right.$，解得-5＜m＜0；
又∵?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此时有g（x）=2^x-4＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-3m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，∴?x∈（-∞，-4），使（x-3m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比3m，-m-3中较小的一个大即可，
当m∈（-$\frac{3}{4}$，0）时，3m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1与m∈（-$\frac{3}{4}$，0）的交集为空集；
当m=-$\frac{3}{4}$时，两根为-2；-2＞-4，不符合；
当m∈（-5，-$\frac{3}{4}$）时，3m＜-m-3，∴只要-4＞3m，解得m＜-$\frac{4}{3}$，
综上可得m的取值范围是：（-5，-$\frac{4}{3}$）．

点评 此题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面，是中档题也是易错题．