Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（3，m），且$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为3，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影是|$\overrightarrow{b}$|×cosθ，列出方程求出m的值，再计算$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为3，
且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3+$\sqrt{3}$m；
∴|$\overrightarrow{b}$|×cosθ=|$\overrightarrow{b}$|×$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3+\sqrt{3}m}{2}$=3；
解得m=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$；
∴cosθ=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由θ∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ为$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．