Question

14．设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（其中k∈R）．
（Ⅰ） 若f（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅱ） 当k∈（$\frac{1}{2}$，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得k＜$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，记μ（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，则${μ}^{'}（x）=\frac{[（x-1）^{2}+1]{e}^{x}}{{x}^{3}}$＞0，由此能求出实数k的取值范围．
（Ⅱ）f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=xe^x-2kx=x（e^x-2k），令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln（2k），令g（k）=ln（2k）-k，h（k）=（k-1）e^k-k³+1，s（k）=e^k-3k，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[0，k]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（其中k∈R），
f（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，
∴k＜$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，记μ（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
则${μ}^{'}（x）=\frac{[（x-1）^{2}+1]{e}^{x}}{{x}^{3}}$＞0．
∴μ（x）在（1，+∞）上是增函数，
x∈（1，+∞）时，μ（x）＞μ（1）=0，∴k≤0．
∴实数k的取值范围是（-∞，0]．
（Ⅱ）f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=xe^x-2kx=x（e^x-2k），
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln（2k），
令g（k）=ln（2k）-k，则${g}^{'}（k）=\frac{1}{k}-1=\frac{1-k}{k}$＞0，
所以g（k）在（$\frac{1}{2}$，1]上递增，
所以g（k）≤ln2-1=ln2-lne＜0，
从而ln（2k）＜k，所以ln（2k）∈[0，k]，
所以当x∈（0，ln（2k））时，f′（x）＜0；
当x∈（ln（2k），+∞）时，f′（x）＞0；
所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1）e^k-k³}，
令h（k）=（k-1）e^k-k³+1，则h′（k）=k（e^k-3k），
令s（k）=e^k-3k，则s′（k）=e^k-3＜0，
所以s（k）在（$\frac{1}{2}$，1）上递减，而s（$\frac{1}{2}$）•s（1）=（$\sqrt{e}-\frac{3}{2}$）（e-3）＜0，
所以存在${x}_{0}∈（\frac{1}{2}，1]$使得s（x₀）=0，且当k∈（$\frac{1}{2}，{x}_{0}$）时，s（k）＞0，
当k∈（x₀，1）时，s（k）＜0，
所以h（k）在（$\frac{1}{2}，{x}_{0}$）上单调递增，在（x₀，1）上单调递减．
因为h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}\sqrt{e}+\frac{7}{8}＞0$，h（1）=0，
所以h（k）≥0，即f（k）≥f（0）在（$\frac{1}{2}，1$]上恒成立，当且仅当k=1时取得“=”．
综上，函数f（x）在[0，k]上的最大值M=（k-1）e^k-k³．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质及构造法的合理运用．