Question

4．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$，g（x）=log₂x+m，若对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂），则m的取值范围是（　　）

• A． m≤-$\frac{5}{4}$
• B． m≤2
• C． m≤$\frac{3}{4}$
• D． m≤0

Answer 1

分析 对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂）等价于f（x）_min≥g（x）_min即可；

解答 解：对?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，4]，使得f（x₁）≥g（x₂）等价于f（x）_min≥g（x）_min；
f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，换元令t=$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，h（t）=t+t²知h（t）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增；
所以f（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$；
g（x）=log₂x+m，在x∈[1，4]上为单调增函数，故g（x）_min=g（1）=m；
所以m≤$\frac{3}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了函数的等价转化思想，以及函数求值域的方法，属中等题．