Question

16．已知常数a，b∈R，且不等式x-alnx+a-b＜0解集为空集，则ab的最大值为$\frac{1}{2}$e³．

Answer 1

分析 由题意可得不等式x-alnx+a-b＜0解集为空集，即任意正数x，x-alnx+a-b≥0恒成立，即x+a-b≥alnx恒成立，a＞0是必然的，设曲线y=alnx的切线l与直线y=x+a-b平行，求出切点，以及切线方程，可得x+a-b≥x+alna-a，ab≤a•a（2-lna），构造函数f（x）=x²（2-lnx），求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到ab最大值．

解答 解：不等式x-alnx+a-b＜0解集为空集，即任意正数x，x-alnx+a-b≥0恒成立，
即x+a-b≥alnx恒成立，当题目条件成立时，a＞0是必然的，
设曲线y=alnx的切线l与直线y=x+a-b平行，
由$\frac{a}{x}$=1，解得x=a，切点为（a，alna），
则可以求得直线l方程为y=x+alna-a．
于是必有x+a-b≥x+alna-a，即b≤2a-alna，
当ab取得最大值时，必然b＞0，于是ab≤a•a（2-lna），
构造函数f（x）=x²（2-lnx），导数f′（x）=3x-2xlnx，x＞0，
当x＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则x=e${\;}^{\frac{3}{2}}$时，取得极大值，也为最大值f（e${\;}^{\frac{3}{2}}$）=e³（2-lne${\;}^{\frac{3}{2}}$）=（2-$\frac{3}{2}$）e${\;}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{3}{2}}$．
故答案为：$\frac{1}{2}{e^3}$．

点评 本题考查不等式解法及应用，注意运用恒成立思想、构造函数法，导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于难题．