Question

8．给出下列四个结论：
①已知直线l₁：ax+y+1=0，l₂：x+ay+a²=0，则l₁∥l₂的充要条件为a=±1；
②函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx满足f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），则函数f（x）的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0）；
③已知平面α和两条不同的直线a，b，满足b?α，a∥b，则a∥α；
④函数f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx的单调区间为（0，1）∪（1，+∞）．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 根据直线平行判断①，根据三角函数的性质判断②，根据线面平行判断③，根据导数的应用判断④．

解答 解：对于①，由l₁∥l₂，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1=0}\\{{a}^{2}-a≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，①错；
对于②，由f（x+$\frac{π}{2}$）=-f（x），得：f（x+π）=f（x），
∴f（x）的周期是π，ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故x=$\frac{π}{6}$时，f（x）=2，②错；
对于③，a?α时，结论不成立，③错；
对于④，f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由f′（x）＞0，得：x＞1，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，④错；
故选：D．

点评 本题考查了充分必要条件，考查三角函数，直线的平行的关系以及导数的应用，是一道中档题．